O conjunto de divisores inteiros de um número é o conjunto de todos os números inteiros que podem dividir o número sem deixar um resto.
Fatorização de 360: 360 = 2^3 * 3^2 * 5
Para o fator primo 2, temos 4 opções: 0, 1, 2, 3
Para o fator primo 3, temos 3 opções: 0, 1, 2
Para o fator primo 5, temos 2 opções 0, 1
Para encontrar todos os divisores de 360, multiplique todas as combinações possíveis dos fatores primos:
Divisor 1: 2^0 * 3^0 * 5^0 = 1
Divisor 2: 2^1 * 3^0 * 5^0 = 2
Divisor 3: 2^2 * 3^0 * 5^0 = 4
Divisor 4: 2^3 * 3^0 * 5^0 = 8
Divisor 5: 2^0 * 3^1 * 5^0 = 3
Divisor 6: 2^1 * 3^1 * 5^0 = 6
Divisor 7: 2^2 * 3^1 * 5^0 = 12
Divisor 8: 2^3 * 3^1 * 5^0 = 24
Divisor 9: 2^0 * 3^2 * 5^0 = 9
Divisor 10: 2^1 * 3^2 * 5^0 = 18
Divisor 11: 2^2 * 3^2 * 5^0 = 36
Divisor 12: 2^3 * 3^2 * 5^0 = 72
Divisor 13: 2^0 * 3^0 * 5^1 = 5
Divisor 14: 2^1 * 3^0 * 5^1 = 10
Divisor 15: 2^2 * 3^0 * 5^1 = 20
Divisor 16: 2^3 * 3^0 * 5^1 = 40
Divisor 17: 2^0 * 3^1 * 5^1 = 15
Divisor 18: 2^1 * 3^1 * 5^1 = 30
Divisor 19: 2^2 * 3^1 * 5^1 = 60
Divisor 20: 2^3 * 3^1 * 5^1 = 120
Divisor 21: 2^0 * 3^2 * 5^1 = 45
Divisor 22: 2^1 * 3^2 * 5^1 = 90
Divisor 23: 2^2 * 3^2 * 5^1 = 180
Divisor 24: 2^3 * 3^2 * 5^1 = 360
Uma forma rápida de chegar ao total de combinações, é somar mais 1 a todos expoentes e multiplicá-los. Assim encontramos o total de divisores.
Número total de divisores = 4 * 3 * 2 = 24
Observações
No caso acima, encontramos 3 fatores primos: 2, 3 e 5. Por isso dizemos, Fatorar um número em seus fatores primos. Sempre quando fatoramos, teremos números primos.
Lembrando o que é um número primo.
Os números primos são aqueles que têm exatamente dois divisores positivos, 1 e eles mesmos.
Lembrando o que é fatoração.
Fatoração é decompor o número em seus "blocos de construção" mais simples, que são os números primos.
A fatoração de números baseia-se em dois conceitos fundamentais da teoria dos números:
O Teorema Fundamental da Aritmética e a definição de números primos.
Teorema Fundamental da Aritmética: Este teorema estabelece que todo número inteiro positivo maior que 1 pode ser expresso de forma única como um produto de números primos, até a ordem dos fatores. Isso significa que não importa como você fatora um número inteiro positivo, você sempre obterá os mesmos números primos como fatores básicos. Por exemplo, 24 pode ser fatorado como 2 x 2 x 2 x 3 ou como 2 x 3 x 2 x 2, mas os fatores primos básicos são sempre 2 e 3.
Definição de Números Primos: Um número primo é um número inteiro maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo. Isso significa que os números primos não têm outros divisores além desses dois. São os "blocos de construção" mais simples no sentido de que não podem ser divididos em números menores inteiros sem deixar um resto.
Portanto, devido ao Teorema Fundamental da Aritmética e à definição de números primos, podemos concluir que os números primos são os "blocos de construção" mais simples para fatorar outros números inteiros positivos em suas componentes básicas. Isso é o que torna a fatoração em fatores primos uma técnica poderosa e fundamental na teoria dos números e na matemática em geral.
